Valeur absolue d'un nombre

Définitions

• Soit \(x\) un réel.
  La valeur absolue de \(x\), notée \(|x|\), est sa distance à zéro. On a donc : \(|x|=d(x;0)\).
  
• \(\)Soit \(x\) et \(y\) deux réels.
  La distance entre ces deux nombres est le nombre \(|x-y|\), qui se lit "valeur absolue de \(x-y\)". On a donc : \(d(x;y)=|x-y|\).

Exemples

• Le nombre `9` se note aussi `+9`. Il est constitué du signe \(+\) et de sa distance à zéro, ou valeur absolue, qui est \(9\). On a donc : \(|+9|=9\).
• Le nombre `-15`  est constitué du signe \(-\) et de sa distance à zéro, ou valeur absolue, qui est `15`. On a donc : \(|-15|=15\).
  

Remarque

Soit \(x\) un réel. La valeur absolue de \(x\) est un nombre positif.

Exemples

• \(\quad|6|=d(6;0)=6\).
  
• \(\quad |-3|=d(-3;0)=3\) 
  
• \(\quad |6-8|=d(6;8)=2\) ou encore : \(|6-8|=|-2|=d(-2;0)=2\)
  

\(\)Propriété

Soit \(x\) un réel.
On a : \(\lvert x \rvert = \left\lbrace \begin{array}{cl} x & \text{si } \; x \geqslant 0\\ - x & \text{si } \; x < 0\end{array} \right.\) 

Exemples

• \(|-3,5|=-(-3,5)=3,5\ \text{car}-3,5<0\)
  
• \(|8,2|=8,2\quad \text{car}\quad 8,2>0\)
  

• Résolvons dans \(\mathbb{R}\) l'équation \(|x|=5\).
  \(|x|=5 \Leftrightarrow d(x;0)=5 \Leftrightarrow x=-5 \; \text{ou}\;x=5\). Donc \(\mathscr{S}=\{-5;5\}\).
  
• Résolvons dans \(\mathbb{R}\) l'équation \(|x-2|=3\).
  \(|x-2|=3 \Leftrightarrow d(x;2)=3 \Leftrightarrow x=2+3\;\text{ou}\;x=2-3 \Leftrightarrow x=5\;\text{ou}\;x=-1\).
  Donc \(\mathscr{S}=\{-1;5\}\).
  
• Résolvons dans \(\mathbb{R}\) l'inéquation \(|x-4|\leq1\).
  Cette inéquation équivaut à \(d(x;4)\leq1\).
  On cherche donc l'intervalle ayant pour centre \(4\) et pour rayon \(1\). Les extrémités de l'intervalle font partie de l'ensemble des solutions puisque l'inégalité est "large".
  Donc \(\mathscr{S}=[3;5]\).